3.1. Mathematicaを利用するにあたって¶
3.1.1. 入力コマンドの実行方法¶
入力コマンドを実行するには、「Shift」キーを押しながら、「Enter」キーを押します。「Enter」キーを押しただけでは、改行しかされません。
3.1.2. 関数名の大文字と小文字¶
Mathematicaで定義されている記号(例えば、Plot、Sin、Precision、Pi、Iなど)は大文字で始まります。何らかのユーザ関数を定義する場合は、小文字にした方が良いです。それは、Mathematica内部で定義された記号とユーザ定義関数を混同しないようにするためです。Mathematicaは1000個近くの内部記号をもち、また外部パッケージではそれ以上の記号が定義されています。
もし、ユーザ定義関数に大文字で始まる名前をつけたら、おそらく同じ名前が出現すると思います。
3.1.3. 括弧の使用方法¶
- 丸括弧「()」は普通の数学計算と同じで、式をグループ化させます
○ x + (1 - y)/2× Sin()- 中括弧「{}」はリスト、範囲を定義します
○ {x, y, z}× Sin{}- 角括弧「[]」は関数専用で、他には使用できません
○ Sin[x^2]× [1 + y]/23.1.4. 「=」の使用方法¶
- 等号「=」は、ある変数にある値を与える際に使われます
x=6y=1 + m/2- コロンと等号の組み合わせ記号「:=」は、関数定義に使われます
f[x_]:=x^2 - 1- 二重等号「==」は、方程式を定義する時、２つの表現式を比較する時に使われます
例：連立一次方程式
{x + y==2, 4x - 2y == 5}例：表現式を比較する
In[1]:= x = 2Out[1]= 2In[2]:= x == 1Out[2]= FalseIn[3]:= x == 2Out[3]= True3.1.5. ヘルプ機能について¶
- 「?」で、ある関数の情報が分かります
In[1]:= ?PlotOut[1]= Plot[f, {x, x , x }] generates a plot of f min max > as a function of x from x to x min max > . Plot[{f , f , …}, {x, x , x }] 1 2 min max > plots several functions f . Plot[{…, w[f ], …}, …] i i > plots f with features defined by the symbolic wrapper w i > .Plot[…, {x} ∈ reg] takes the variable x to be in the geometric region reg. Attributes[Plot]={Protected, ReadProtected}- ある特定の文字を含むすべての記号を知ることもできます「*」は任意の文字列を意味します
In[2]:= ?Plot*Out[2]= Plot PlotLabels PlotRangeClipPlanesStyle Plot3D PlotLayout PlotRangePadding Plot3Matrix PlotLegends PlotRegion PlotDivision PlotMarkers PlotStyle PlotHighlighting PlotPoints PlotTheme PlotJoined PlotRange PlotLabel PlotRangeClipping3.2. 数値計算¶
3.2.1. 電卓として使う¶
- 足し算、引き算
In[1]:= 2 + 3Out[1]= 5In[2]:= 0.17 - 1.5Out[2]= -1.33- 掛け算 アスタリスク「*」とスペースは掛け算を表します
In[3]:= 32 * 5 7Out[3]= 1120- 割り算
In[4]:= 7/2 7Out[4]= - 2- べき乗
In[5]:= 3^12Out[5]= 5314413.2.2. 数の型と数学定数¶
- 整数、有理数、実数
有理数に関する処理は、デフォルトでは、計算されずにそのままの形で表示されます
In[1]:= 1/2 - 1/3 + 1/5 -1/7 47Out[1]= --- 210入力データに小数点数が混合している場合は、小数で表示されます
In[2]:= 0.5 - 1/3 + 1/5 -1/7Out[2]= 0.22381有理数から実数へ変換する場合は、関数「N」を使用します
In[3]:= 3/5 3Out[3]= - 5In[4]:= N[3/5]Out[4]= 0.6- 複素数
「-1」の平方根(虚数単位)を「I」(アルファベット大文字のアイ)で表します
In[5]:= Sqrt[-1]Out[5]= Iまた、複素数は実部と虚部に分かれて表示されます
In[6]:= (3 + 2I)/(5 - 3I) 9 19 IOut[6]= -- + ---- 34 34In[7]:= (3.0 + 2I)/(5 - 3I)Out[7]= 0.264706 + 0.558824 I3.2.3. 数学関数¶
- 三角関数
すべての三角関数が利用できます
See Also
MQ9 Vic ch 03 - WordPress.com · 2010. 8. 25. · using pronumerals to represent unknown numbers and quantities. You will learn how to simplify algebraic expressions and substitute - [PDF Document]3.1: Solve Systems of Linear Equations with Two Variables3.6: Solve Systems of Equations Using MatricesSolve for x and y in the following system:
{
2 x+4 y=8
x^2+y=4
.In[1]:= Sin[Pi/2]Out[1]= 1In[2]:= Cos[Pi/2]Out[2]= 0In[3]:= Sin[-Pi/3] -Sqrt[3]Out[3]= -------- 2In[4]:= N[Sin[-Pi/3]]Out[4]= -0.866025In[5]:= ArcCos[0] PiOut[5]= -- 2In[6]:= N[Sinh[Pi/3]]Out[6]= 1.249373.2.4. 行列¶
- マトリクスの作成 マトリクスを作成するには、Table関数[]を使用します
In[1]:= ?TableOut[1]= Table[expr, n] generates a list of n copies of expr > . Table[expr, {i, i }] generates a list of the values of expr max > when i runs from 1 to i . Table[expr, {i, i , i }] max min max > starts with i = i . Table[expr, {i, i , i , di}] min min max > uses steps di. Table[expr, {i, {i , i , …}}] 1 2 > uses the successive values i , i 1 2 > , ….Table[expr, {i, i , i }, {j, j , j }, …] min max min max > gives a nested list. The list associated with i is outermost. Attributes[Table]={HoldAll, Protected}In[2]:= Table[i, {i, 1, 10}]Out[2]= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}In[3]:= Table[a, {i, 1, 5}]Out[3]= {a, a, a, a, a}In[4]:= Table[i^2, {i, 1, 10, 0.5}]Out[4]= {1., 2.25, 4., 6.25, 9., 12.25, 16., 20.25, 25., 30.25, 36., 42.25, 49., 56.25, 64., 72.25, 81., 90.25, 100.}- マトリクスの表示
行列を一般的な形で表示するには、MatrixForm[]関数を使用します
In[1]:= ?MatrixFormOut[1]= MatrixForm[list] prints with the elements of list arranged in a regular array. Attributes[MatrixForm]={Protected, ReadProtected} Options[MatrixForm]={TableAlignments -> Automatic, TableDepth -> Infinity, TableDirections -> Column, > TableHeadings -> None, TableSpacing -> Automatic}In[2]:= matrix = { {1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9} }Out[2]= {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}}In[3]:= MatrixForm[matrix]Out[3]//MatrixForm= 1 2 3 4 5 6 7 8 9- 行列の処理
In[4]:= matrix2 = Table[ 1/(i + j), {i, 1, 3}, {j, 1, 3} ] 1 1 1 1 1 1 1 1 1Out[4]= {{-, -, -}, {-, -, -}, {-, -, -}} 2 3 4 3 4 5 4 5 6In[5]:= MatrixForm[matrix2]Out[5]//MatrixForm= 1 1 1 - - - 2 3 4 1 1 1 - - - 3 4 5 1 1 1 - - - 4 5 6- 逆行列を求める
逆行列を求めるには、Inverse[]関数を使用します
In[6]:= Inverse[matrix2]Out[6]= {{72, -240, 180}, {-240, 900, -720}, {180, -720, 600}}- 行列式を求める
行列式を求めるには、Det[]関数を使用します
In[7]:= Det[matrix2] 1Out[7]= ----- 43200- 行列の固有値を求める
固有値を求めるには、Eigenvalues[]関数を使用します
In[9]:= Eigenvalues[matrix] 3 (5 + Sqrt[33]) 3 (5 - Sqrt[33])Out[9]= {----------------, ----------------, 0} 2 23.2.5. 方程式¶
- 一元方程式
方程式を解くには、Solve[]関数を使用します。Solve[]関数は、記号的(例：ルート、分数表示する)に方程式の解を生成します。方程式は「==」(二重等号)で表します。Solve[]関数の第二引数は、変数を意味し、これについて方程式を解きます。
In[1]:= Solve[a x^2 + b x + c == 0, x] 2 2 -b - Sqrt[b - 4 a c] -b + Sqrt[b - 4 a c]Out[1]= {{x -> ---------------------}, {x -> ---------------------}} 2 a 2 aNSolve[]関数は、数値的(例：ルート、分数表示しない)に方程式の解を生成します
In[2]:= Solve[3x^2 + 4x + 1 == 0, x] 1Out[2]= {{x -> -1}, {x -> -(-)}} 3In[3]:= NSolve[3x^2 + 4x + 1 == 0, x]Out[3]= {{x -> -1.}, {x -> -0.333333}}- 連立方程式
連立方程式を解くには、Solve[]関数、NSolve[]関数を使用します
In[4]:= Solve[ { x + y == 2, x - 3y + z ==3, x - y + z ==0 }, { x, y ,z } ] 7 3Out[4]= {{x -> -, y -> -(-), z -> -5}} 2 2In[5]:= NSolve[ { x + y == 2, x -3y + z ==3, x -y + z ==0 }, { x, y ,z } ]Out[5]= {{x -> 3.5, y -> -1.5, z -> -5.}}- 特殊な一元方程式
以下のような方程式を解くには、FindRoot[]関数が使用できます
In[1]:= FindRoot[ 3 Cos[x] == Log[x], {x, 1} ]Out[1]= {x -> 1.44726}- 微分方程式
微分方程式を解くには、DSolve[]関数、NDSolve[]関数を使用します 以下に初期条件を伴う簡単な微分方程式の記号解の例を示します
In[1]:= DSolve [{y'[x] == a y[x] + 1, y[0] == 0}, y[x], x] a x -1 + EOut[1]= {{y[x] -> ---------}} a以下に非線形微分方程式の数値解の例を示します。結果は関数 y の規則です InterpolatingFunction は <> で示される数値データを含む数値関数を表します
Out[1]= {{y -> InterpolatingFunction[{{0., 50.}}, <>]}}3.3. 数式処理¶
3.3.1. 代数¶
- 基本的な式の操作
記号演算の式では、指定しない限り演算は行いません。次式を実行しても自動的に昇順に並べかえるだけです。
In[1]:= 2 x + x ^2 + 5 2Out[1]= 5 + 2 x + xIn[2]:= (x + z) + y + x^2 - a y^2 + b z^3 2 2 3Out[2]= x + x + y - a y + z + b z同類項はただ纏められます。
In[3]:= (1 + 3x) + (5x + 2) - (4y + 5) + (2y + 3)Out[3]= 1 + 8 x - 2 yIn[4]:= E^((3x - 4x) * (z + 5z)) -6 x zOut[4]= E基本的な単純化をし、まとめられる数学関数はまとめます
In[5]:= Sec[x]/(Cot[x]Cos[x]) 2Out[5]= Sec[x] Tan[x]In[6]:= BesselY[5/2, x] 2 3 Cos[x] 3 Sin[x] Sqrt[--] (Cos[x] - -------- - --------) Pi 2 x xOut[6]= --------------------------------------- Sqrt[x]数式を展開するには、その旨の指定をする必要があります。数式を展開するには、Expand[]関数を使用します
In[7]:= (a x + b y + c z)^3 3Out[7]= (a x + b y + c z)In[8]:= Expand[%] 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2Out[8]= a x + 3 a b x y + 3 a b x y + b y + 3 a c x z + 2 2 2 2 2 2 3 3> 6 a b c x y z + 3 b c y z + 3 a c x z + 3 b c y z + c z数式の単純化は自動的には実行されません。数式の単純化を行うには、主にSimplify[]関数を使用しますこの関数は、入力された数式を、同等で最も単純な形で出力します
In[9]:= (1 -x^3)(1 + x^3 + x^6) 3 3 6Out[9]= (1 - x ) (1 + x + x )In[10]:= Simplify[(1 - x^3)(1 + x^3 + x^6)] 9Out[10]= 1 - x数式の単純化には、Simplify[]関数よりもパワフルなFullSimplify[]関数があります しかし、実行時間は長くなります
In[11]:= FullSimplify[Gamma[1 - z] Gamma[z]]Out[11]= Pi Csc[Pi z]数式の因数分解であれば、Factor[]関数があります
In[12]:= Factor[1 - 2x + x^2] 2Out[12]= (-1 + x)- オプションの設定
Mathematicaは、各関数について様々なオプションが設定されています。 オプションを修正することで、さらに多様な処理ができます。
例として、Factor[]関数を取り上げますデフォルトの設定では、因数分解は整数の範囲で行われます
In[13]:= Factor[x^4 - 1] 2Out[13]= (-1 + x) (1 + x) (1 + x )複素数を含む整数レベルまで拡張して行う場合、Factor[]関数のオプション設定を調べます
In[14]:= Options[Factor]Out[14]= {Extension -> None, GaussianIntegers -> False, Modulus -> 0,> Trig -> False}GaussianIntegersをTrueにすれば、複素数レベルまで処理することが分かります
In[15]:= Factor[ x^4 -1, GaussianIntegrts -> True]Factor::optx: Unknown option GaussianIntegrts in 4 Factor[-1 + x , GaussianIntegrts -> True]. 4Out[15]= Factor[-1 + x , GaussianIntegrts -> True]3.3.2. 変数の代入について¶
ある数式に変数を代入するには(数式) /. (変数)->(値)と入力します
In[1]:= x + y + 2z /. z -> 5Out[1]= 10 + x + yIn[2]:= x + y + 2z /. z -> 1 + dOut[2]= 2 (1 + d) + x + yIn[3]:= ex = Log[(1 - x)/x] 1 - xOut[3]= Log[-----] xIn[4]:= ex /. x -> 0.3Out[4]= 0.847298In[5]:= Sqrt[x^2 + 2x + y^3 + 6y + 1] /. {x -> 2, y-> 3}Out[5]= 3 Sqrt[6]In[6]:= Sqrt[x^2 + 2x + y^3 + 6y + 1] /. {{x -> 2, y-> 3}, {x -> 3, y -> 5}}Out[6]= {3 Sqrt[6], 3 Sqrt[19]}3.3.3. 方程式の求解¶
Solve[]関数を用いると、方程式、連立方程式の一般解を求められます
In[1]:= Solve[a x^2 + b x + c == 0, x] 2 2 -b - Sqrt[b - 4 a c] -b + Sqrt[b - 4 a c]Out[1]= {{x -> ---------------------}, {x -> ---------------------}} 2 a 2 aSolve[]関数では、連立方程式を方程式のリストとして入力し、その後に変数をリストとして指定します
In[2]:= Solve[{x + 3y ==a, 5x + 2y == b}, {x, y}] -2 a + 3 b 5 a bOut[2]= {{x -> ----------, y -> --- - --}} 13 13 13また、LinearSolve[]関数を用いることで、行列により連立方程式を解くことができます
In[3]:= coef = {{1, 3}, {5, 2}}Out[3]= {{1, 3}, {5, 2}}In[4]:= LinearSolve[coef, {a, b}] -2 a + 3 b 5 a - bOut[4]= {----------, -------} 13 133.3.4. 解析学¶
- 微分
微分を行うには、D[]関数を使用します
In[1]:= D[x^5 - 3x + E^(2x + 1), x] 1 + 2 x 4Out[1]= -3 + 2 E + 5 xIn[2]:= D[Cos[n Pi x], x]Out[2]= -(n Pi Sin[n Pi x])- 積分
積分を行うには、Integrate[]関数を使用します
In[1]:= Integrate[Cos[n Pi x], x] Sin[n Pi x]Out[1]= ----------- n Pi- テイラー展開
テイラー展開を行うには、Series[]関数を使用します
In[1]:= Series[Cos[n Pi x], {x, 0, 7}] 2 2 2 4 4 4 6 6 6 n Pi x n Pi x n Pi x 8Out[1]= 1 - --------- + --------- - --------- + O[x] 2 24 720O[x]^8は、余剰項が8次から始まることを示します この項を除くためには、Normal[]関数を使用します
In[2]:= Normal[%] 2 2 2 4 4 4 6 6 6 n Pi x n Pi x n Pi xOut[2]= 1 - --------- + --------- - --------- 2 24 720- 極限
極限を求めるには、Limit[]関数を使用します
In[1]:= Limit[(x^2 - 4)/(x - 2), x -> 2]Out[1]= 4In[2]:= Limit[Sin[x]/x, x -> 0]Out[2]= 13.4. グラフィックス¶
3.4.1. 2次元グラフィックス¶
- 標準的な2次元作図
標準的な2次元作図を行う場合、Plot[]関数を使用します
図の出力の際はSHIFT+ENTERを押してください。
Plot[Sin[x]/x, {x, -10, 10}]
Plot[]関数には、様々なオプションがあります
In[1]:= Options[Plot] 1Out[1]= {AlignmentPoint -> Center, AspectRatio -> -----------, Axes -> True, GoldenRatio> AxesLabel -> None, AxesOrigin -> Automatic, AxesStyle -> {}, Background -> None,> BaselinePosition -> Automatic, BaseStyle -> {}, ClippingStyle -> None,> ColorFunction -> Automatic, ColorFunctionScaling -> True, ColorOutput -> Automatic,> ContentSelectable -> Automatic, CoordinatesToolOptions -> Automatic,> DisplayFunction :> $DisplayFunction, Epilog -> {}, Evaluated -> Automatic,> EvaluationMonitor -> None, Exclusions -> Automatic, ExclusionsStyle -> None,> Filling -> None, FillingStyle -> Automatic, FormatType :> TraditionalForm,> Frame -> False, FrameLabel -> None, FrameStyle -> {}, FrameTicks -> Automatic,> FrameTicksStyle -> {}, GridLines -> None, GridLinesStyle -> {}, ImageMargins -> 0.,> ImagePadding -> All, ImageSize -> Automatic, ImageSizeRaw -> Automatic,> LabelingSize -> Automatic, LabelStyle -> {}, MaxRecursion -> Automatic,> Mesh -> None, MeshFunctions -> {#1 & }, MeshShading -> None, MeshStyle -> Automatic,> Method -> Automatic, PerformanceGoal :> $PerformanceGoal,> PlotHighlighting -> Automatic, PlotLabel -> None, PlotLabels -> None,> PlotLayout -> Automatic, PlotLegends -> None, PlotPoints -> Automatic,> PlotRange -> {Full, Automatic}, PlotRangeClipping -> True,> PlotRangePadding -> Automatic, PlotRegion -> Automatic, PlotStyle -> Automatic,> PlotTheme :> $PlotTheme, PreserveImageOptions -> Automatic, Prolog -> {},> RegionFunction -> (True & ), RotateLabel -> True, ScalingFunctions -> None,> TargetUnits -> Automatic, Ticks -> Automatic, TicksStyle -> {},> WorkingPrecision -> MachinePrecision}上のグラフに名前、フレーム、表示範囲を設定して、表示します。
Plot[Sin[x]/x, {x, -10, 10}, Frame -> True, PlotLabel -> "Sin[x]/x", GridLines -> Automatic, PlotRange -> {{-15, 15}, {-0.5, 1.5}}]
- 複数の関数を重ね合わせて表示させる
Plot[{Sin[x]/x, Cos[x]}, {x, -10, 10}]
デフォルトではどちらも同じスタイルでグラフが描かれるので、区別できるように別々のスタイルで定義します
Plot[{Sin[x]/x, Cos[x]}, {x, -10, 10}, PlotStyle -> {{Dashing[{0.02}]}, {Thickness[0.02]}}]
- 2次元曲線
簡単な関数で表せない2次元曲線(例：サイクロイド曲線、アステロイド曲線)の作図する場合、ParametricPlot[]関数を使用します
ParametricPlot[{4Cos[-11t/4] + 7Cos[t], 4Sin[-11t/4]+7Sin[t]}, {t, 0, 8Pi}, AspectRatio -> Automatic]
3.4.2. 3次元グラフィックス¶
- 標準的な3次元作図 標準的な３次元作図を行う場合、Plot3D[]関数を使用します
Plot3D[Cos[x]Sin[y], {x, 0, 2Pi}, {y, 0, 2Pi}]
Plot3D[]関数には、様々なオプションがあります
In[1]:= Options[Plot3D]Out[1]= {AlignmentPoint -> Center, AspectRatio -> Automatic, AutomaticImageSize -> False,> Axes -> True, AxesEdge -> Automatic, AxesLabel -> None, AxesOrigin -> Automatic,> AxesStyle -> {}, Background -> None, BaselinePosition -> Automatic, BaseStyle -> {},> BoundaryStyle -> GrayLevel[0], Boxed -> True, BoxRatios -> {1, 1, 0.4},> BoxStyle -> {}, ClippingStyle -> Automatic, ClipPlanes -> None,> ClipPlanesStyle -> Automatic, ColorFunction -> Automatic,> ColorFunctionScaling -> True, ColorOutput -> Automatic,> ContentSelectable -> Automatic, ControllerLinking -> False,> ControllerMethod -> Automatic, ControllerPath -> Automatic,> CoordinatesToolOptions -> Automatic, DisplayFunction :> $DisplayFunction,> Epilog -> {}, Evaluated -> Automatic, EvaluationMonitor -> None,> Exclusions -> Automatic, ExclusionsStyle -> None, FaceGrids -> None,> FaceGridsStyle -> {}, Filling -> None, FillingStyle -> Opacity[0.5],> FormatType :> TraditionalForm, ImageMargins -> 0., ImagePadding -> All,> ImageSize -> Automatic, ImageSizeRaw -> Automatic, LabelingSize -> Automatic,> LabelStyle -> {}, Lighting -> Automatic, MaxRecursion -> Automatic,> Mesh -> Automatic, MeshFunctions -> {#1 & , #2 & }, MeshShading -> None,> MeshStyle -> Automatic, Method -> Automatic, NormalsFunction -> Automatic,> PerformanceGoal :> $PerformanceGoal, PlotLabel -> None, PlotLabels -> None,> PlotLegends -> None, PlotPoints -> Automatic, PlotRange -> {Full, Full, Automatic},> PlotRangePadding -> Automatic, PlotRegion -> Automatic, PlotStyle -> Automatic,> PlotTheme :> $PlotTheme, PreserveImageOptions -> Automatic, Prolog -> {},> RegionFunction -> (True & ), RotationAction -> Fit, ScalingFunctions -> None,> SphericalRegion -> Automatic, TargetUnits -> Automatic,> TextureCoordinateFunction -> Automatic, TextureCoordinateScaling -> Automatic,> Ticks -> Automatic, TicksStyle -> {}, TouchscreenAutoZoom -> False,> ViewAngle -> Automatic, ViewCenter -> Automatic, ViewMatrix -> Automatic,> ViewPoint -> {1.3, -2.4, 2.}, ViewProjection -> Automatic, ViewRange -> All,> ViewVector -> Automatic, ViewVertical -> {0, 0, 1},> WorkingPrecision -> MachinePrecision}Plot3D[Cos[x]Sin[y], {x, 0, 2Pi}, {y, 0, 2Pi}, Axes -> False, FaceGrids -> All, PlotPoints -> 25]
- 3次元曲面
簡単な関数で表せない３次元曲面の作図をする場合、ParametricPlot3D[]関数を使用します
ParametricPlot3D[{Sin[v] Cos[u], Sin[v] Sin[u], Cos[v]}, {u, 0, 3Pi/2}, {v, 0, Pi}]
